Як множити ступеня, множення ступенів з різними показниками
Стаття присвячена питанню як множити ступеня. Автор розглядає приклади множення ступенів з різними підставами і показниками. Також розглядаються статечні рівняння.
- Ручка
- Аркуш паперу
- Калькулятор
Кожна арифметична операція порою стає занадто громіздкою для запису і її намагаються спростити. Колись так було і з операцією додавання. Людям було необхідно проводити багаторазове однотипне додавання, наприклад, порахувати вартість ста перських килимів, вартість якого становить 3 золоті монети за кожен. Доводилося записувати 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Через громіздкість було придумано скоротити запис до 3 * 100 = 300. Фактично, запис «три помножити на сто» означає, що потрібно взяти сто трійок і скласти між собою. Множення прижилося, знайшло спільну популярність. Але світ не стоїть на місці, і в середніх віках виникла необхідність проводити багаторазове однотипне множення. Пригадується стара індійська загадка про мудреця, попросив у нагороду за виконану роботу пшеничні зерна в такій кількості: за першу клітку шахівниці він просив одне зерно, за другу - два, третій - чотири, п'ятий - вісім і так далі. Так з'явилося перше множення ступенів, адже кількість зерен було одно двійці в ступені номера клітини. Приміром, на останній клітці було б 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 зерен, що дорівнює числу довжиною в 18 знаків, в чому, власне, і криється сенс загадки.
Операція зведення в ступінь прижилася досить швидко, також швидко виникла необхідність проводити додавання, віднімання, ділення і множення ступенів. Останнє і варто розглянути більш докладно. Формули для складання ступенів прості і легко запам'ятовуються. До того ж, дуже легко зрозуміти, звідки вони беруться, якщо операцію ступеня замінити множенням. Але спочатку слід розібратися в елементарній термінології. Вираз a ^ b (читається «а в ступені b») означає, що число a слід помножити саме на себе b разів, причому «a» називається підставою ступеня, а «b» - статечним показником. Якщо підстави ступенів однакові, то формули виводяться зовсім просто. Конкретний приклад: знайти значення виразу 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Щоб знати, що повинне вийти, слід перед початком вирішення дізнатися відповідь на комп'ютері. Забивши даний вираз в будь онлайн-калькулятор, пошуковик, набравши "множення ступенів з різними основаніяміі однаковими" або математичний пакет, на виході вийде 128. Тепер розпишемо даний вираз: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2, а 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Виходить, що 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Виходить, що твір ступенів з однаковим підставою одно основи, зведеному в ступінь, рівну сумі двох попередніх ступенів.
Можна подумати, що це випадковість, але немає: будь-який інший приклад зможе лише підтвердити дане правило. Таким чином, у загальному вигляді формула виглядає наступним чином: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Також існує правило, що будь-яке число в нульової ступеня дорівнює одиниці. Тут слід згадати правило негативних ступенів: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Тобто, якщо 2 ^ 3 = 8, то 2 ^ (- 3) = 1/8. Використовуючи це правило можна довести справедливість рівності a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) можна скоротити і залишається одиниця. Звідси виводиться і те правило, що приватне ступенів з підставами одно цій підставі в ступені, що дорівнює приватному показника діленого і дільника: a ^ n: a ^ m = a ^ (nm). Приклад: спростити вираз 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Множення є комутативною операцією, отже спочатку слід провести додавання показників множення: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Далі слід розібратися з розподілом на негативну ступінь. Необхідно відняти показник дільника з показника діленого: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Виявляється, операція ділення на негативну ступінь тотожна операції множення на аналогічний позитивний показник. Таким чином, остаточна відповідь дорівнює 8.
Існують приклади, де має місце не канонічне множення ступенів. Перемножити ступеня з різними підставами дуже часто буває набагато складніше, а часом і взагалі неможливо. Слід навести кілька прикладів різних можливих прийомів. Приклад: спростити вираз 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Очевидно, має місце множення ступенів з різними підставами. Але, слід зазначити, що всі підстави є різними ступенями трійки. 9 = 3 ^ 2,1 = 3 ^ 4,3 = 3 ^ 5,9 = 3 ^ 6. Використовуючи правило (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), слід переписати вираз в більш зручному вигляді: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7-4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11). Відповідь: 3 ^ 11. У випадках, коли різні підстави, на рівні показники працює правило a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n. Наприклад, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. В іншому, коли різні підстави і показники, зробити повне множення можна. Іноді можна частково спростити або вдатися до допомоги обчислювальної техніки.
