Як знайти площу трикутника, якщо відомо три сторони?
У багатьох шкільних завданнях, як, втім, і не тільки в шкільних, часто потрібно знайти таку величину, як площа трикутника. Наприклад, може попастися завдання з питанням, як знайти площу трикутника, якщо відомо три сторони?
- Значення сторін трикутника
- Формули
Деякі із завдань з геометрії, а якщо точніше, то по планіметрії, вимагають знаходження площі якийсь заданої фігури. Площа будь-якої фігури може бути як кінцевою метою завдання, так і проміжним обчисленням, необхідним для підстановки в більш складну формулу. Часто в таких завданнях просять знайти площу трикутника. Початкові дані можуть бути різними. В одних випадках відома якась сторона трикутника і значення висоти, проведеної до неї, в інших - периметр трикутника і так далі.
Припустимо, задано знайти площу трикутника, якщо відомо три сторони. Для знаходження площі такого трикутника використовується формула Герона. Щоб визначити площу за цією формулою потрібно спочатку обчислити напівпериметр трикутника (п). Знаючи значення всіх трьох сторін, зробити це елементарно. Потрібно підсумувати всі сторони трикутника - це буде його периметр, а потім розділити отримане значення на два. Після цього треба від значення напівпериметр відняти по черзі значення довжини кожної з трьох заданих сторін трикутника, тобто з п відняти а, потім з п відняти b і, нарешті, з п відняти с.
Отримані три різниці слід перемножити між собою і цей твір знову помножити на значення напівпериметр. Провівши всі перераховані дії і отримавши результат множення, треба з цього результату витягти квадратний корінь. Те число, яке вийде після вилучення квадратного кореня, і буде площею заданого трикутника. Якщо записати коротко, то формула площі трикутника буде така: площа (S) = корінь кв-ний з (п * (п-а) * (п-b) * (п-с)). Як можна зрозуміти з формули, вирішується питання знаходження трикутника з відомими значеннями сторін дуже легко.
Наприклад, як знайти площу трикутника, якщо відомі три сторони: сторона а дорівнює 3 сантиметрам, сторона b дорівнює 4 сантиметрам і сторона з дорівнює 2 сантиметрам. Периметр цього трикутника буде дорівнює а + b + с = 3 сантиметри + 4 сантиметри + 2 сантиметри = 9 см. Значить напівпериметр дорівнює 9: 2 = 4,5 сантіметраПолучім: S = корінь кв-ний з (4,5 сантиметра * (4 , 5 сантиметра - 3 сантиметри) * (4,5 сантиметра - 4 сантиметри) * (4,5 сантиметра - 2 сантиметри)) = 2,9 квадратних сантиметрів
А що, якщо значення сторін не тільки відомі, але також вказано, що вони рівні за умовою завдання? У такому випадку, як знайти площу трикутника, якщо відомі всі сторони, а також вони рівні? Можна, звичайно, теж обчислити її по розглянутої вище формулою Герона, але навіщо зайві розрахунки, якщо для такого трикутника виведена інша формула, яка набагато простіше формули Герона. За цією формулою потрібно спочатку вирахувати кв-ний корінь з числа 3, потім звести в другу ступінь значення довжини сторони трикутника, перемножити це значення в другому ступені з коренем із числа 3 і отримане в результаті множення твір розділити на число 4. Вийде площа заданого трикутника . При записи ця формула виглядає так: S = (a ^ 2 * корінь (3)) / 4
Нехай є трикутник з однаковою довжиною сторін, що дорівнює 3 сантиметрам. За цією формулою можна отримати площа такого трикутника: S = (3 ^ 2 * корінь (3)) / 4 = 3,9 квадратних сантиметрів. Щоб перевірити, правильно чи ні обчислено значення площі конкретного трикутника, можна провести додаткові розрахунки за ф-ле Герона і звірити отримані результати.
Напівпериметр (п) = (3 + 3 + 3) / 2 = 4,5 сантиметра. За формулою Герона знаходиться: S = корінь кв-ний з (4,5 сантиметра * (4,5 сантиметра - 3 сантиметри) * (4,5 сантиметра - 3 сантиметри) * (4,5 сантиметра - 3 сантиметри)) = 3 , 9 квадратних сантиметрів. Обидва значення площі, знайдені за різними формулами, збігаються. Значить площа трикутника визначена правильно. Вирішуючи якісь інші завдання, слід враховувати дані в умові і використовувати відповідну цими даними формулу.
